Mathematical Models for the Discovery of Musical Patterns, Structures and for Performances Analysis
Modèles mathématiques pour la découverte de motifs, structures et pour l'analyse de performances musicales
Résumé
The purpose of this thesis is to provide mathematical models for the understanding and analysis of symbolic representations of music. In particular, this thesis is divided into three parts. How to discover musical patterns? How are these patterns organized within the musical structure? And finally, how are these patterns performed during musical performance? First, this thesis focuses on the musical pattern discovery task. Previous work identifies two different approaches: the sequential and geometric approaches. We propose a method for each of these two approaches. We propose a method for developing the multidimensional approach. In particular, we show that the theory of mathematical morphology is well suited to the geometrical approach, making it possible to obtain mathematical results for the discovery of musical patterns. In the second part, we focus on the musical segmentation task. We propose a method based on homogeneity and one based on repetition, which are the two main features to be studied in order to discover the segmentation of a piece. The homogeneity-based method uses morphological filters to detect blocks on the diagonal of the self-similarity matrix. We also develop a method based on almost repetition without overlaps to obtain the hierarchical segmentation of a musical piece. The third part is dedicated to the computational models for music performances. We focus on the MazurkaBL dataset, which contains annotations of over 2000 recorded performances of 46 Chopin Mazurkas. To analyze this dataset, we propose to represent a musical performance in a 2-simplex, allowing us to characterize and interpret the expressivity of a performance. Then, we show how the theory of optimal transport can be used to compare musical performances.
L'objectif de cette thèse est de fournir des modèles mathématiques pour la compréhension et l'analyse de représentations symboliques de la musique. En particulier, cette thèse se décompose en trois parties : comment découvrir les motifs musicaux~? Comment ces motifs sont-ils organisés avec la structure musicale ? Et finalement, comment ces motifs sont-ils joués durant la performance musicale ? Tout d'abord, cette thèse se focalise sur la tâche de découverte de motifs musicaux. Les travaux antérieurs permettent de distinguer deux approches : l'approche séquentielle et l'approche multidimensionnelle. Nous proposons une méthode pour développer l'approche multidimensionnelle. En particulier, nous montrons que la théorie de la morphologie mathématique s'adapte très bien à l'approche géométrique, ce qui permet d'obtenir des résultats mathématiques pour la découverte de motifs musicaux. En seconde partie, nous nous intéressons à la tâche de segmentation musicale. Nous proposons deux méthodes, l'une reposant sur l'homogénéité et l'autre sur la répétition, qui sont les deux caractéristiques principales à étudier pour découvrir la segmentation d'une pièce. La méthode reposant sur l'homogénéité utilise les filtres morphologiques pour détecter les blocs sur la diagonale de la matrice d'auto-similarité. Nous développons aussi une méthode reposant sur la quasi-répétition sans intersection pour obtenir la segmentation hiérarchique d'une pièce. La troisième partie est dédiée à l'analyse de la performance musicale avec des outils informatiques. Nous nous focalisons sur la base de données MazurkaBL qui contient des annotations de plus de 2000 performances de 46 Mazurkas de Chopin. Pour analyser cette base de données, nous proposons de représenter une performance musicale dans un 2-simplexe, ce qui permet de caractériser et d'interpréter l'expressivité musicale d'une performance. Ensuite, nous montrons comment la théorie du transport optimal peut être utilisée pour comparer des performances musicales.
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